Задача диофанта

Язык алгебры. Задача Диофанта

Язык алгебры – уравнения. «Чтобы решить вопрос, относящийся к числам или отвлеченным отношениям величин, нужно лишь перевести задачу с родного языка на язык алгебраический», — писал великий И.

Ньютон в своем учебнике алгебры, который называется «Всеобщая арифметика». Под алгебраическим языком понимают язык уравнений и неравенств. Большинство текстовых задач решается именно этим способом.

Посмотрим на примере, как выполняется такой перевод с родного языка на алгебраический.  

В III—IV веках нашей эры жил в городе Александрии знаменитый греческий матема­тик Диофант. До нас дошли шесть из трина­дцати книг «Арифметики», написанных Дио­фантом. История сохранила нам мало черт биографии замечательного древнего математика Диофанта.

Все, что известно о нем, почерпнуто из надписи на его гробнице — надписи, составленной в форме математической задачи. Эта надпись дает возмож­ность определить продолжительность жиз­ни математика, которого позднее назвали «отцом греческой алгебры».

Надпись эта в переводе, подражающем древним стихам, такова:  

Путник! Здесь прах погребен Диофанта.И числа поведать могут, о чудо,сколь долог был век его жизни.  x
Часть шестую его представлялопрекрасное детство.  
Двенадцатая часть протекла еще жизни –покрылся пухом тогда подбородок.  
Седьмую в бездетном бракепровел Диофант.
Прошло пятилетие;он был осчастливлен рождениемпрекрасного первенца сына.   5
Коему рок половину лишьжизни прекрасной и светлойдал на земле по сравненью с отцом. 
И в печали глубокойстарец земного удела конец воспринял,переживши года четырес тех пор, как сына лишился.  4
Уравнение: 

 

Решив уравнение и найдя, что х=84, узнаем следующие черты биографии Диофанта; он женился в возрасте 21года, стал отцом на 38 году, потерял сына на 80 году и умер достигнув возраста 84 лет. Но все-таки попробуйте проверить сами.

Решение уравнений – зачастую дело нетрудное; составление уравнений по данным задачи затрудняет больше. Искусство составлять уравнения действительно сводится к умению переводить «с родного языка на алгебраический.

  Ссылки 

  • Диофант Александрийский. Википедия.

Рисунок Савченко Е.М.

Латинский перевод
Арифметики (1621)

Лист из Арифметики
(рукопись XIV века).

 

Источник: http://le-savchen.ucoz.ru/publ/1-1-0-30

Методическая разработка по математике (6 класс) на тему: Диофант. Задача Диофанта

Слайд 1

Диофант и его труды. О подробностях жизни Диофанта Александрийского практически ничего не известно. .

Слайд 2

Диофант представляет одну из наиболее трудных загадок в истории науки. Нам не известно ни время, когда он жил, ни предшественники, которые работали бы в той же области. Труды его подобны сверкающему огню среди непроницаемой тьмы.

Слайд 3

Промежуток времени, когда мог жить Диофант, составляют полтысячелетия! Нижняя грань определяется без труда: в своей книге о многоугольных числах Диофант неоднократно упоминает математика Гипсикла Александрийского который жил в середине 2-ого в. до н.э.

Слайд 4

С другой стороны, в комментариях Теона Александрийского к «Альмагесту» знаменитого астронома Птолемея помещен отрывок из сочинения Диофанта. Теон жил в середине 4-ого в.н.э. Этим определяется верхняя грань этого промежутка. Итак, 500 лет!

Слайд 5

Зато место жительства Диофанта хорошо известно – Александрия, центр научной мысли и эллинистического мира. Наиболее загадочным представляется творчество Диофанта.

Слайд 6

До наших дней дошли два произведения Диофанта, оба не полностью. Это «Арифметика» (шесть книг из тринадцати) и отрывки из трактата «О многоугольных числах». Но о самом авторе не известно почти ничего. Его «Арифметика» стала поворотным пунктом в развитии алгебры и теории чисел.

Именно здесь произошёл окончательный отказ от геометрической алгебры. В начале своего труда Диофант поместил краткое введение, ставшее первым изложением основ алгебры. В нём строится поле рациональных чисел и вводится буквенная символика.

Там же формулируются правила действий с многочленами и уравнениями. Труды Диофанта имели фундаментальное значение для развития алгебры и теории чисел.

С именем этого учёного связано появление и развитие алгебраической геометрии, проблемами которой впоследствии занимались Леонард Эйлер, Карл Якоби и другие авторы.

Слайд 7

Чебышев Гаусс Ферма Эйлер Лагранж

Слайд 8

«Арифметика» Диофанта – это сборник задач (их всего 189), каждая из которых снабжена решением (или несколькими способами решения) и необходимыми пояснениями. Поэтому, с первого взгляда, кажется, что она не является теоретическим произведением.

Однако, при внимательном чтении видно, что задачи тщательно подобраны и служат для иллюстрации вполне определенных, строго продуманных методов.

Как это было принято в древности, методы не формулируются в общем виде, а повторяются для решения однотипных задач.

Слайд 10

Главная проблематика «Арифметики» – это нахождение положительных рациональных решений неопределенных уравнений. Рациональные числа трактуются Диофантом так же, как и натуральные, что не типично для античных математиков.

Сначала Диофант исследует системы уравнений второго порядка от двух неизвестных. Он указывает метод нахождения других решений, если одно уже известно. Затем аналогичные методы он применяет к уравнениям высших степеней.

Слайд 11

В X веке «Арифметика» была переведена на арабский язык, после чего математики стран ислама (Абу Камил и другие) продолжили некоторые исследования Диофанта.

В Европе интерес к «Арифметике» возрос после того, как Рафаэль Бомбелли обнаружил это сочинение в Ватиканской библиотеке и опубликовал 143 задачи из его в своей «Алгебре» (1572 года). В 1621 году появился классический, подробно прокомментированный латинский перевод «Арифметики» , выполненный Баше де Мезириаком.

Методы Диофанта оказали огромное влияние на Франсуа Виета и Пьера Ферма, впрочем, в Новое время неопределенные уравнения обычно решаются в целых числах, а не в рациональных, как это делал Диофант.

Слайд 12

Известны и другие сочинения Диофанта. Трактат « О многоугольных числах» сохранился не полностью. В сохранившейся части методами геометрической алгебры выводится ряд вспомогательных теорем. Из сочинений Диофанта «Об измерении поверхностей» и «Об умножении» также сохранились лишь отрывки. Книга Диофанта «Поризмы» известна только по нескольким теоремам, используемым в Арифметике.

Слайд 13

В Палатинской антологии содержится эпиграмма–задача, из которой можно сделать вывод, что Диофант прожил 84 года: Здесь погребен Диофант, и камень могильный При счете расскажет нам, Сколь долог был его век. Велением бога он мальчиком был шестую часть своей жизни; В двенадцатой части затем прошла его светлая юность.

Седьмую часть жизни прибавим – перед нами очаг Гименея. Пять лет протекли; и прислал Гименей ему сына. Но горе ребенку! Едва половину он прожил Тех лет, что отец, как скончался несчастный. Четыре года страдал Диофант от утраты такой тяжелой И умер, прожив для науки.

Скажи мне, Скольких лет достигнув, смерть воспринял Диофант?

Слайд 14

Диофантовы уравнения Диофантовыми уравнениями называют алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами , для которых надо найти целые или рациональные решения.

При этом число неизвестных в уравнениях должно быть не менее двух (если не ограничиваться только целыми числами). Диофантовы уравнения имеют, как правило, много решений , поэтому их называют неопределенными уравнениями.

Это ,например, уравнения: 3х+5у=7 ; х ² +у ² = z² ; 3х ³ +4у ³ = 5 z³

Слайд 15

К диофантовым уравнениям приводят задачи, по смыслу которых неизвестные значения величин могут быть только целыми числами.

Слайд 16

Задача № 1 В клетке сидят кролики и фазаны, всего у них 18 ног. Узнать, сколько в клетке тех и других. Решение. Составляется уравнение с двумя неизвестными переменными, в котором х – число кроликов.

у – число фазанов: 4х + 2у = 18 , или 2х + у = 9 . Выразим у через х: у = 9 – 2х . Далее воспользуемся методом перебора: х 1 2 3 4 у 7 5 3 1 Таким образом, задача имеет четыре решения.

Ответ: (1; 7), (2; 5), (3; 3), (4; 1).

Слайд 17

Задача № 2 Подданные привезли в дар шаху 300 драгоценных камней: в маленьких шкатулках по 15 штук в каждой и в больших – по 40 штук.

Сколько было тех и других шкатулок, если известно, что маленьких было меньше, чем больших ? Решение: Обозначим за Х количество маленьких шкатулок, а за Y – количество больших. Причем X < Y .

Получаем диофантово уравнение: Сокращаем на 5 Выразим переменную х через у

Слайд 18

Чтобы значение дроби было целым числом , надо, чтобы 2 y было кратно 3, т.е.: Выразим переменную у и выделим целую часть: Потребуем, чтобы z было кратно 2: «Спуск» окончен. Дробей больше нет. Теперь Выразим переменные x и y через u :

Слайд 19

u 0 2,5 Составим и решим систему неравенств: Выпишем целые решения: 1; 2; Теперь найдем значения x и y при u =1; 2; Не подходит, т.к. x должен быть меньше y ! ОТВЕТ: 4 маленькие шкатулки; 6 больших шкатулок.

Слайд 20

z 0 ,5 5,4 Задача № 3 z = 1, 2, 3, 4, 5 Ответ: 5 способов Можно ли двухрублевыми и пятирублевыми монетами набрать сумму в 51 рубль? Если можно, то сколько существует способов?

Слайд 21

Задача № 4 Можно ли разложить две сотни яиц в коробки по 10 и 12 штук? Если можно, то найдите все способы? 0 5,4 z Ответ: х 1 = 14, у 1 = 5; х 2 = 8, у 2 = 10; х 3 = 2, у 3 = 15.

Слайд 22

Задача № 5 У осьминога 8 ног, а у морской звезды 5. Сколько в аквариуме тех и других, если всего у них 39 ног? u = 0 Ответ: 3; 3.

Слайд 23

Задача № 6 Представьте число 257 в виде суммы двух чисел, а) одно из которых кратно 3, а другое – 4; б) одно из которых кратно 5, а другое – 8. а) б) Ответ: 249 и 8. Ответ: 225 и 32.

Источник: https://nsportal.ru/shkola/matematika/library/2018/04/02/diofant-zadacha-diofanta

Занятие 5. Диофантовы уравнения

Задача 1. Допустим, в аквариуме живут осьминоги и морские звёзды. У осьминогов по 8 ног, а у морских звёзд – по 5. Всего конечностей насчитывается 39. Сколько в аквариуме животных?

Решение.  Пусть х — количество морских звёзд, у – количество осьминогов. Тогда у всех осьминогов по 8у ног, а у всех звёзд 5х ног. Составим уравнение: 5х + 8у = 39.

   Заметим, что количество животных не может выражаться нецелым или отрицательным числами. Следовательно, если х – целое неотрицательное число, то и у=(39 – 5х)/8 должно быть целым и неотрицательным, а, значит, нужно, чтобы выражение 39 – 5х без остатка делилось на 8. Простой перебор вариантов показывает, что это возможно только при х = 3, тогда у = 3. Ответ: (3; 3).

Уравнения, вида ах+bу=с, называются диофантовыми, по имени  древнегреческого математика Диофанта Александрийского.  Жил Диофант, по-видимому, в 3 в. н. э., остальные  известные нам факты его биографии исчерпываются таким  стихотворением-загадкой, по преданию выгравированным на его надгробии:

 Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей и камень

Мудрым искусством его скажет усопшего век.

Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком.

И половину шестой встретил с пушком на щеках.

Только минула седьмая, с подругой он обручился.

С нею, пять лет, проведя, сына дождался мудрец;

Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.

Отнят он был у отца ранней могилой своей.

Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,

Тут и увидел предел жизни печальной своей.

Сколько же лет прожил Диофант Александрийский?   

Задача 2. На складе имеются гвозди в ящиках  по 16,17 и 40 кг. Может ли кладовщик  выдать  100 кг гвоздей, не вскрывая  ящики? (метод прямого перебора)

Разберем метод решения относительно одного неизвестного.

Задача 3. В каталоге картинной галереи всего 96 картин. На каких-то страницах расположено 4 картины, а на каких-то 6. Сколько страниц каждого вида есть в каталоге?

Решение. Пусть х – количество страниц с четырьмя картинами,

у – количество страниц с шестью картинами,

тогда по условию этой задачи можно составить уравнение:

4x+6y=96.

Решаем это уравнение относительно того из неизвестных, при котором наименьший (по модулю) коэффициент. В нашем случае это 4х, то есть:

4х=96-6у.

Делим все уравнение на этот коэффициент:

4х=96-6у | :4;

х=(96-6у):4.

Остатки при делении на 4: 1,2,3. Подставим вместо у эти числа.

 Если у=1, то х=(96-6∙1):4=90:4 — Не походит, решение не в целых числах.

 Если у=2, то х=(96-6∙2):4=21 – Подходит.

 Если у=3, то х=(96-6∙3):4=78:4 — Не походит, решение не в целых числах.

 Итак, частным решением является пара (21;2), а это значит, что на 21 странице расположено по 4 картины, а на 2 страницах по 6 картин.

Разберем метод решения с использованием алгоритма Евклида.

Задача 4. В магазине продаётся шоколад двух видов: молочный и горький. Весь шоколад хранится в коробках. Молочного шоколада на складе имеется 7 коробок, а горького 4. Известно, что горького шоколада было на одну плитку больше. Сколько плиток шоколада находятся в коробках каждого вида?

Решение. Пусть х – количество плиток молочного шоколада в одной коробке,

у – количество плиток горького шоколада в одной коробке,

тогда по условию этой задачи можно составить уравнение:

4у-7х=1.

Решим это уравнение, используя алгоритм Евклида.

4у-7х=1;

      Выразим 7=4∙1+3, => 3=7-4∙1.

      Выразим 4=3∙1+1, => 1=4-3∙1=4-(7-4∙1)=4-7+4∙1=4∙2-7∙1=1.

      Итак, получается х=1; у=2.

А это значит, что молочный шоколад лежит в коробке по 1 штуке, а горький по 2 штуки.

Разберем метод поиска частного решения и общей формулы решений.

Задача 5. В африканском племени Тумбе-Юмбе два аборигена Тумба и Юмба работают парикмахерами, причем Тумба всегда заплетает своим клиентам по 7 косичек, а Юмба по 4 косички. Сколько клиентов обслужили мастера по отдельности за смену, если известно, что вместе они заплели 53 косички?

Решение. Пусть х – количество клиентов Тумбы,

у – количество клиентов Юмбы,  

тогда 7х+4у=53 (1).

Теперь чтобы найти частные решения уравнения ( , ), заменим данную нам сумму чисел на 1. Это заметно упростит поиск подходящих чисел. Получим:

Читайте также:  За что степан разин утопил персидскую княжну

7х+4у=1 (2).

Решим это уравнение методом подстановки.

7х+4у=1;

4у=1-7х │:4;

у=(1-7х):4

Остатки при делении на 4: 1, 2, 3. Подставим вместо х эти числа:

Если х=1, то у=(1-7):4 – не подходит, т.к. решение не в целых числах.

Если х=2, то у=(1-7∙2):4 – не подходит, т.к. решение не в целых числах.

Если х=3, то у=(1-7∙3):4=-5 – подходит.

Значит:

х0=3;

у0=-5.

Затем умножим получившиеся значения на начальное значение суммы, которую мы заменяли на 1, т.е.

х=х0 ∙53=3∙53=159;

у=у0 ∙53=-5∙53=-265.

Мы нашли частное решение уравнения(1). Проверим его, подставив начальное уравнение:

7∙159+4∙(-265)=53; (3)

1113-1060=53;

53=53.

Ответ сошелся. Если бы, мы решали абстрактное уравнение, то можно было бы на этом остановиться. Однако мы решаем задачу, а поскольку Тумба не мог заплести отрицательное число косичек, нам необходимо продолжать решение. Теперь составим формулы для общего решения. Чтобы это сделать вычтем из начального уравнения(1) уравнение с подставленными значениями (3). Получим:

Вынесем общие множители за скобки:

7(х-159)+4(у+265)=0.

Перенесем одно из слагаемых из одной части уравнения в другую:

7(х-159)=-4(у+265).

Теперь стало видно, что чтобы уравнение решалось (х-159) должно делиться на -4, а (у+265) должно делиться на 7. Введем переменную n, которая будет отображать это наше наблюдение:

х-159=-4n;

y+265=7n.

Перенесем слагаемые из одной части уравнения в другую:

х=159-4n;

у=7n-265.

Мы получили общее решение данного уравнения, теперь в него можно подставлять различные числа и получать соответствующие ответы.

Например, пусть n=39, тогда

х=159-156=3;

у=273-265=8.

А это значит, что Тумба заплел косички 3 клиентам, а Юмба 8 клиентам.

Решите задачи различными методами.

Задача 6: Вовочка купил ручки по 8 рублей и карандаши по 5 рублей. Причем за все карандаши он заплатил на 19 рублей больше, чем за все ручки. Сколько ручек и сколько карандашей купил  Вовочка? (метод поиска общего решения, решение относительно одного не известного, использование алгоритма Евклида).

Задача 7. Куплены фломастеры по 7 рублей и карандаши по 4 рубля за штуку, всего на сумму 53 рубля. Сколько куплено фломастеров и карандашей?

Задача 8.(муниципальный тур ВОШ 2014-2015 г.) : на планете С в ходу два вида монет:  по 16 тугриков и по 27 тугриков. Можно ли с их помощью купить товар, ценой в 1 тугрик?

Задача 9. Шехерезада рассказывает свои сказки великому правителю. Всего она должна рассказать 1001 сказку.

Сколько ночей потребуется Шехерезаде, чтобы рассказать все свои сказки, если в какие-то ночи она будет рассказывать по 3 сказки, а в какие-то по 5? За сколько ночей Шехерезада расскажет все свои сказки, если хочет сделать это как можно быстрее? Сколько ночей понадобится Шехерезаде, если ей утомительно рассказывать по пять сказок за ночь, поэтому таких ночей должно быть как можно меньше?

Задача10. (вспомним «Водолея») Как налить 3 литра воды, имея 9-литровую и 5-литровую емкости?

Задача 11. Вовочка отлично успевает по математике. В дневнике у него только пятерки и четверки, причем пятерок больше. Сумма всех Вовочкиных оценок по математике равна 47. Сколько Вовочка получил пятерок и сколько четверок?

Задача 12. Кощей Бессмертный устроил питомник по разведению Змеев Горынычей. В последнем выводке у него есть Змеи о 17-ти головах и о 19-ти головах. Всего этот выводок насчитывает 339 голов. Сколько 17-тиголовых и сколько 19-тиголовых Змеев вывелось у Кощея?

Ответы: Диофант прожил 84 года;

 задача 2: 4 ящика по 17 кг и 2 ящика по 16 кг;

 задача 6: куплено 7 карандашей и 8 ручек, то есть (7,2) – частное решение и у = 2 + 5n, х = 7 + 8n, где nє Z – общее решение;

 задача 7: (-53; 106) – частное решение, х=4n-53, у=-7n+106 – общие решения, при n=14, х=3, у=8, то есть куплено 3фломастера и 8 карандашей;

 задача 8: например, заплатить 3 монеты по 27 тугриков и получить сдачу 5 монет по 16 тугриков;

 задача 9: (2002; -1001) – частное решение,  х=-5 n+2002, у=3n-1001 – общее решение, при n=350, у=49, х=252, то есть 252 ночи по 3 сказки и 49 ночей по 5 сказок — всего 301 ночь; самый быстрый вариант: 2 ночи по три сказки и 199 ночей по 5 сказок — всего 201 ночь; самый долгий вариант: 332 ночи по 3 сказки и 1 ночь 5 сказок — всего 333 ночи.

задача 10: например,  2 раза налить воду 9-тилитровой банкой и 3 раза вычерпать ее 5-тилитровой банкой;

задача 11: Вовочка получил 7 пятерок и 4 четверки;

задача 12: 11 Змеев о 17-ти головах и 8 Змеев о 19-ти головах.

Источник: http://www.zaesenok.ru/matematicheskij-kruzhok/7-klass/99-zanyatie-5-diofantovy-uravneniya

Читать

Одно из величайших удовольствий в математике — делиться ею с другими, и неважно, кто вы: преподаватель, писатель или же просто рассказываете о математике в кругу друзей… С давних пор мои любимые слушатели — это моя семья.

Именно ей я обязан многими и многими часами счастья.

Я благодарен моим родителям Эухенио и Урсуле, моим братьям и сестрам Деборе, Даниэлю, Иоланде, Алехандро, Соне, Патрисии, Веронике, Клаудии, Кристине, Сильвии и Эухении, моей жене Марии Изабель и моим детям Лауре Элизабет и Эулалии Элисенде.

Эту книгу я посвящаю

Хоакиму Наварро и Монтсеррат Марсет — моим источникам вдохновения.

Гризельде Паскуаль и Пилар Байер — моим источникам знаний.

Моей семье — моему источнику жизни.

Когда мы объясняем кому-то теорему Ферма, то в ответ обычно слышим: «Ничего особенного». Формулировка этой теоремы столь проста, что сложно удержаться от искушения взять лист бумаги и проверить несколько чисел, позабыв на мгновение, что речь идет об одной из сложнейших математических задач всех времен.

Одним из многих наивных, кто попался в эту ловушку, был британец Эндрю Уайлс. Ему не было и десяти лет, когда он увлекся этой теоремой и той историей, что ее окружает. Молодой человек бесстрашно приступил к доказательству теоремы, зная лишь немногим больше курса математики начальной школы, и, разумеется, ему пришлось отступить.

Но, в отличие от многих, Уайлс, который впоследствии стал выдающимся математиком, упорно пытался снова и снова доказать теорему, посвятив ей всю свою жизнь. История этого гениального математика, одержимого доказательством единственной грандиозной задачи, — часть прекрасного и многогранного полотна, на котором изображена история теоремы Ферма.

Рассказом об Эндрю Уайлсе начинается и заканчивается эта книга.

В первой главе мы перенесемся в 1993 год, когда Уайлс удивил весь мир, объявив, что ему удалось доказать знаменитую теорему.

Самая известная и самая трудная математическая задача всех времен в конце концов была решена, и это удивительное достижение попало на первые полосы всех мировых газет. Увы, спустя некоторое время эксперты обнаружили ошибки в доказательстве.

Однако казалось, что эти ошибки можно быстро исправить. Шли месяцы, а Уайлс, к которому было приковано внимание всего математического мира, по-прежнему хранил молчание.

Быть может, это был всего лишь заманчивый мираж? Неужели знаменитая теорема снова, как и на протяжении последних трех столетий, оказалась неприступной?

Во второй главе мы ненадолго оставим Уайлса, вернемся больше чем на 3000 лет назад и расскажем о математике в Древней Индии и Шумерии. Последняя теорема Ферма тесно связана со знаменитой ключевой теоремой геометрии — теоремой Пифагора. Ее открытие обычно приписывают греческому математику Пифагору, но в действительности она была известна в Азии и на Ближнем Востоке за много веков до него.

Третья глава — краткая биография нашего главного героя, Пьера де Ферма. Он был адвокатом по профессии и математиком по призванию.

В его время научных журналов не существовало, открытия совершались одиночками, и о них становилось известно из переписки, например, таких выдающихся ученых, как сам Ферма, Блез Паскаль, Рене Декарт и братья Бернулли.

Обрисовав столь увлекательную картину, в четвертой главе мы поговорим о том, как «Арифметика» Диофанта навела Ферма на мысль о его великой теореме, а также о попытках доказать ее на протяжении трех последующих веков, пока Уайлс не предложил окончательное доказательство.

Наша история изобилует известными именами: мы упомянем Гаусса, «принца математиков»; Софи Жермен — женщину, которая выдавала себя за мужчину; мы расскажем о Леонарде Эйлере и Эваристе Галуа, об Эрнсте Куммере, о японских математиках Ютаке Танияме и Горо Симуре.

В пятой и последней главе подробно рассказывается о сольном восхождении Уайлса на этот математический Эверест, которое стало кульминацией тысячелетней истории математики.

Без знаний математики невозможно получить от нее истинное удовольствие. Только приложив умственные и волевые усилия, можно в полной мере осознать всю ее красоту.

И тогда пейзаж, который открывается перед нами, сравним с красивейшей сонатой, с торжеством природы, с высшим из наслаждений. Мечта автора — чтобы по прочтении этой книги читатель открыл для себя новые уголки математики неземной красоты и в полной мере насладился ими.

Понять какие-то темы будет совсем нетрудно, другие — чуть сложнее. Автор ставил перед собой цель изложить материал доступным образом, оставив наиболее затруднительные моменты для дополнительного изучения.

Автор ставил задачу рассказать эту историю так, чтобы читатель заново пережил 380 с лишним лет, которые понадобились для окончательного доказательства великой теоремы Ферма.

В 1997 году в научно-популярной программе NOVA Эндрю Уайлса спросили, как бы он описал семь лет настойчивых, граничащих с одержимостью поисков, которые завершились доказательством последней теоремы Ферма — самой знаменитой теоремы всех времен. Уайлс ответил:

«Вы входите в большой дом, и вас окружает тьма. Темно. Кромешная тьма. Вы то и дело натыкаетесь на мебель, но постепенно узнаёте, где что стоит. Наконец месяцев через шесть или около того вы нащупываете выключатель, и внезапно становится светло. Вы отчетливо видите, где вы. Затем вы переходите в следующую комнату и проводите там шесть месяцев во мраке»[1].

Этот «мрак», о котором говорит британский математик, не смогли преодолеть множество математиков в течение трех с половиной столетий. Теорема, сформулированная в 1630-е годы (точное время неизвестно) французом Пьером де Ферма (1601–1663), звучит так:

«Для любого натурального числа n > 2 уравнение

хn + уn = zn

не имеет натуральных решений х, у и z».

Об этой теореме стало широко известно лишь тогда, когда сын Ферма, Саму эль, обнаружил ее на полях латинского издания «Арифметики» Диофанта. Это не столь удивительно, как может показаться, потому что Ферма посвящал большую часть времени профессиональной деятельности — адвокатуре и занимался наукой лишь в часы отдыха.

Помимо формулировки самой теоремы (которая несколько отличается от упомянутой выше), рядом приводилась фраза, которая стала одной из самых известных в истории математики: «Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него».

Многие хотели бы оказаться рядом с Ферма, чтобы предложить ему в тот момент чистый лист бумаги! Несмотря на все усилия Самуэля Ферма, ему не удалось найти в рукописях отца ничего, что как-то касалось бы предполагаемого доказательства, и потомкам пришлось довольствоваться лишь доказательством для n = 4, которое опубликовал сам Ферма.

«Поистине чудесное доказательство» гениального французского математика оказалось утерянным навсегда.

Страница 85 «Арифметики» Диофанта в переводе Баше де Мезириака. На этой странице описывается задача 8 книги II. Читатель может оценить ширину полей, на которых не поместилось «чудесное доказательство» Ферма.

В этот момент трудно удержаться от избитой фразы: «Порой жизнь оказывается удивительнее фантастики».

Если бы Ферма знал, сколько миллионов часов потратят исследователи, сколько сотен тысяч страниц в научных журналах будет посвящено попыткам найти то самое доказательство! Если бы он знал, что спустя более чем 300 лет его простая теорема все еще будет оставаться недоказанной, самой удивительной и самой комментируемой! И что теорема, для которой «поля книги оказались слишком узки», своей элегантностью привлечет внимание бесчисленного множества математиков, но никому не откроет своей тайны. Такие выдающиеся умы, как Карл Фридрих Гаусс, Леонард Эйлер, Адриен Мари Лежандр, Эрнст Куммер и многие другие, приступали к решению с определенной уверенностью в своих силах, но им удавалось найти доказательства только для частных случаев, n = 3, 5 или 7. Кроме этого, становилось известно все больше случаев этой теоремы, открывались неизмеримые глубины теории чисел, и в первые десятилетия прошлого века казалось, что следует отказаться от всяких попыток и перевести теорему в разряд исторических казусов. Несмотря на всю ее сложность, а может, именно по этой причине великая теорема Ферма вышла за рамки узких разделов математики.

Источник: https://www.litmir.me/br/?b=279531&p=17

«Арифметика» Диофанта

О жизни Диофанта практически ничего не известно. В точности неизвестны даже годы его жизни. Однако до нас дошли несколько дат. С одной стороны, Диофант цитирует Гипсикла, давая определение фигурных чисел, следовательно, его труд был написан позднее 150 года до н. э.

С другой стороны, Теон Александрийский, отец Гипатии, приводит в своих трудах одно из определений Диофанта, откуда следует, что «Арифметика» было написана до 350 года н. э.

Следовательно, мы можем лишь утверждать, что даты рождения и смерти Диофанта находятся в границах этого периода длиной в 500 лет.

Точнее определить годы жизни Диофанта помогает письмо византийского автора XI века Михаила Пселла. В переводе с греческого письмо звучит так: «Диофант управлялся с ней (египетской арифметикой. — Примеч.

автора) более умело, но образованный Анатолий объединил важнейшие части доктрины Диофанта, которую тот изложил разрозненно и сжато, и посвятил свой труд Диофанту».

Читайте также:  Где находится гробница тутанхамона

Пол Таннери опубликовал это письмо в одном из своих исследований и предположил, что Пселл ссылается на комментарий о Диофанте, источник которого был утерян. Возможно, он был написан Гипатией.

Упоминаемый в письме Анатолий был епископом Лаодикеи, писателем и знатоком математики и жил в III веке н. э. Следовательно, можно предполагать, что Диофант написал «Арифметику» примерно в 250 году н. э. Однако не все исследователи согласны с этим переводом, поэтому предложенную дату нельзя считать окончательной.

Обложка книги «Арифметика» Диофанта, напечатанной в Базеле в 1575 году.

Как и в случае с Ферма, точный возраст Диофанта можно определить по его эпитафии. Она содержится в «Греческой антологии», составленной Метродором примерно в 500 году и. э. Одна задача из этого собрания посвящена автору «Арифметики»:

«Прах  Диофанта  гробница  покоит;  дивись  ей  —  и  камень

Мудрым  искусством  его  скажет  усопшего  век.

Волей  богов  шестую  часть  жизни  он  прожил  ребенком.

И  половину  шестой  встретил  с  пушком  на  щеках.

Только  минула  седьмая,  с  подругой  он  обручился.

С  нею  пять  лет  проведя,  сына  дождался  мудрец;

Только  полжизни  отцовской  возлюбленный  сын  его  прожил.

Отнят  он  был  у  отца  ранней  могилой  своей.

Дважды  два  года  родитель  оплакивал  тяжкое  горе,

Тут  и  увидел  предел  жизни  печальной  своей».

(Перевод С.П. Боброва)

Если мы обозначим возраст Диофанта за х, то его детство длилось х/6 лет, он женился по прошествии х/7 лет, его борода росла х/12 лет. Его сын родился 5 лет спустя и прожил х/2 лет. Отец умер 4 года спустя после смерти сына. Получим:

хх/6 + х/7 + х/12 + 5 + х/2 + 4.

Умножив обе части равенства на 84, получим:

84х = 84· х/6 + 84·х/7 + 84·х/12 + 84·5 + 84·х/2 + 84·4.

Упростим равенство:

84х = 14х + 12х + 7х + 420 + 42х + 336.

Перенеся все члены с х в одну часть, получим:

84х — 14х — 12х — 7х — 42х = 420 + 336.

Отсюда 9х = 776, следовательно, х = 156/9 = 84. Таким образом, Диофант женился в 26 лет, сын родился, когда ему было 38 лет. Сын прожил 42 года — в два раза меньше, чем отец. Однако нам неизвестно, является эта задача полностью вымышленной или же, напротив, она основана на реальных событиях жизни математика.

* * *

Обложка одного из изданий «Арифметики» Диофанта, опубликованного в 1670 году сыном Ферма уже после смерти отца. В это издание были включены комментарии, сделанные знаменитым математиком.

* * *

Важность «Арифметики»

Важность работы Диофанта сложно переоценить. Предложенные им задачи бросают вызов гениальности и творчеству и воспевают красоту математики. Хотя Диофант не применял сложные алгебраические обозначения, он ввел в употребление некоторые символы.

Так, он обозначал сокращениями неизвестную и степени неизвестной. Это позволило упростить запись уравнений. Он также использовал сокращение, обозначавшее равенство. Поэтому его работа стала важным шагом в переходе от словесной к символьной алгебре.

Также очевидно, что Диофант уделял больше внимания частным, а не общим случаям. Очевидно, переход к общим случаям был слишком большим шагом вперед. Однако некоторые из методов Диофанта можно легко распространить на более общие случаи. Тем не менее, ему явно не хватало средств алгебраической нотации, чтобы записать более общие методы.

Например, Диофант мог обозначать только одну неизвестную, и всякий раз, когда в решении появлялись различные неизвестные, он называл их «первая неизвестная», «вторая неизвестная», «третья неизвестная» и так далее.

У него в распоряжении также не было символа для обозначения произвольного числа n, поэтому выражение (6+ 1)/(n2 + n) требовалось записывать словами:

«Число, умноженное на шесть и увеличенное на один, которое делится на сумму его квадрата и этого же числа». Нетрудно видеть, что записывать сложные выражения в подобном виде было непросто. Лишь Виет сделал решающий шаг к современной алгебраической нотации.

* * *

* * *

Распространение заветов Диофанта

Европейские математики начали открывать для себя наследие Диофанта усилиями немецкого математика и астронома Иоганна Мюллера, также известного как Региомонтан.

Около 1463 года он обнаружил копию «Арифметики» в Венеции и обратил внимание, что «никто до сей поры не перевел с греческого на латынь тринадцать книг Диофанта, в которых сокрыт истинный цвет математики». Примерно в 1570 году Рафаэль Бомбелли перевел часть «Арифметики», но его труд так и не был опубликован.

Тем не менее он использовал многие задачи Диофанта в своей книге под названием «Алгебра». В 1575 году Вильгельм Гольцман, известный также под именем Ксиландр, опубликовал в Базеле книгу «Сочинения Диофанта Александрийского в шести книгах» (Diophanti Alexandrini Rerum libri sex) — первый перевод книги Диофанта на латынь.

В 1621 году Баше де Мезириак сделал еще один шаг, опубликовав в Париже новый перевод под следующим названием: «»Арифметика» Диофанта Александрийского в шести книгах и одна книга о многоугольных числах, переведенные с латыни и греческого, с иллюстрациями» (Diophanti Alexandrini Arithmeticorum libri sex, et de Numeris multangulis liber unus. Nunc primun graece et latini editi atque absolutissimis commentariis illustrati). Это издание содержит исходный текст на греческом, его перевод на латынь, а также ряд примечаний и комментариев.

Портрет Йоганна Мюллера, который в XV веке обнаружил копию труда Диофанта.

* * *

На этом фрагменте картины Рафаэля «Афинская школа» на переднем плане изображен Пифагор, а чуть дальше — Гапатия Александрийская в белой тунике.

* * *

Перевод Баше дал огромный толчок развитию теории чисел. Тот же Баше решил диофантовы уравнения первой степени вида ах + by = cz.

Позднее Альбер Жиро идеально точно выделил целые числа, представимые в виде суммы двух квадратов.

Наконец, Ферма изобрел новый общий метод доказательства, так называемый метод бесконечного спуска, и применил его для доказательства своей теоремы при n = 4.

До выхода перевода Баше теория чисел не вызывала интереса математиков. Считалось, что задачи теории чисел — не более чем математические курьезы, любопытные, но носящие частный характер. Объектами всеобщего внимания в то время были геометрия и анализ.

Но после публикации трудов Ферма теория чисел быстро привлекла к себе интерес наиболее выдающихся математиков: Виета, Декарта, Гаусса, Эйлера, Якоби, Лагранжа, Лежандра, Дирихле, Дедекинда, Кронекера и многих других.

Это лишь часть обширного перечня ученых, которые занимались исследованиями теории чисел — «королевы математики», как считал Гаусс.

Портрет математика XVIII века Жозефа Луи Лагранжа, который изучал различные задачи, поставленные Ферма.

* * *

* * *

В 1885 году сэр Томас Хит опубликовал первый перевод «Арифметики» на английский язык. Второе издание этого замечательного перевода увидело свет в 1910 году. В него были включены комментарии Баше, Ферма и других. Многие античные авторы оставляли в книгах свои комментарии.

В различные издания и переводы часто включались примечания редактора и переводчика, но при этом не указывалось, что именно является частью исходного текста, а что — комментариями. Возможно, тогда считалось, что настоящий шедевр строится со временем и любой желающий может изучить его и дополнить чем-то новым.

Следовательно, с исторической точки зрения очень важно иметь как можно больше изданий одной и той же книги, чтобы видеть, как ее текст изменялся со временем.

Изучив рукописи, которые сохранились до наших дней, Таннери предположил, что все они имеют один общий источник. По-видимому, этим общим источником является издание «Арифметики» с комментариями Гипатии Александрийской. Согласно этой же теории, данный труд включал именно те шесть книг, которые дошли до наших дней.

Утерянными оказались те книги, которые не были прокомментированы Гипатией. Если это так, то именно усилиями Гипатии до нас дошла часть наследия Диофанта. Также весьма вероятно, что сама Гипатия существенно дополнила эти книги. В настоящее время исследователи продолжают работу, и окончательный ответ все еще не найден.

Источник: http://xn—-7sbbao2ali0aghq2c8b.xn--p1ai/load/mir_matematiki/zagadka_ferma_trekhvekovoj_vyzov_matematike/arifmetika_diofanta/109-1-0-2277

Диофант

Во II-III веках нашей эры наступает поворотный момент в математической науке. Теперь основанием математики служила не геометрия, а арифметика.

Центром науки по-прежнему является Александрия, однако математическая школа сильно отличается от классической, созданной Евклидом его последователями. Отправным пунктом изменений этого периода послужило грандиозное сочинение «Арифметика» Диофанта Александрийского.

В период расцвета арифметики активно развиваются вычислительные логарифмы, плоская и сферическая тригонометрия, а также новая алгебра.

О жизни Диофанта Александрийского известно очень мало. Даже о продолжительности жизни Диофанта мы узнаем из его загадки, которая выглядит следующим образом:

Попробуйте сосчитать сколько прожил Диофант Александрийский. (ответ 84года).

Латинский перевод Арифметики (1621)

Автора фундаментального сочинения «Арифметика» по праву считают создателем новой алгебры. Его труд состоит из 13 книг, к сожалению, до наших дней дошли лишь 6.

«Весь цвет арифметике, искусство неизвестной» сосредоточено в сочинении Диофантра — утверждал Региомонтан.

Итак, рассмотрим подробнее содержание книг Диофанта. Первая книга представляет собой подробное введение в проблему, знакомство с основными терминами, среди них: «неизвестная», по Диофанту, «число», обозначаемое буквой ς, «квадрат неизвестной» — «степень», сокращенно δν (от δύναμις — «степень»). Всего Диофант предусмотрел специальные обозначения для шести степеней неизвестного.

Кстати сказать, у Диофанта Александрийского отсутствовали знаки сложения и вычитания. Знак равенство представлял собой сочетание букв ἴσ (сокращение от ἴσος — «равный»).

Также в первой книге были сформулированы основные правила: приведения подобных членов и прибавления или вычитания к обеим частям уравнения одного и того же числа или выражения. Кроме того, Диофант вводит правило знаков, которое состояло в том, что минус на минус даёт плюс. Это правило применяется при перемножении выражений с вычитаемыми членами.

Лист из Арифметики (рукопись XIV века)

Остальные книги «Арифметике» представляют собой сборник задач с решениями. До нас дошло всего лишь 189 задач, которые помещены в 6 книгах.

Центральной проблемой грандиозного сочинения Диофанта Александрийского является нахождение положительных рациональных решений неопределённых уравнений. Согласно Диофанту, рациональные числа есть то же, что и натуральные числа. Эта идея была не характерна для античных математиков.

Проблему решения неопределенных уравнений Диофант исследует постепенно. Сначала он рассматривает системы уравнений 2-го порядка от 2 неизвестных. В том случае, если один метод решения уже известен, он обозначает новые. После чего аналогичные методы применяет к уравнениям высших степеней.

Кстати сказать, именно Диофант Александрийский ввел в алгебру буквенную символику.

Первый перевод «Арифметики» Диофанта на арабский язык был осуществлен в X веке. Благодаря этому выдающиеся математики стран ислама смогли продолжить исследования и усовершенствовать учение Диофанта.

В Европе впервые с «арифметическими» задачами Диофанта познакомились в 1572 году, когда их обнаружил служитель Ватиканской Библиотеки Рафаэль Бомбелли. А в 1621 году появился полный и подробно прокомментированный латинский перевод «Арифметики». Именно сочинения Диофанта оказали огромное влияние на Франсуа Виета и Пьера Ферма.

Менее известны сочинения Диофанта «О многоугольных числах», «Об измерении поверхностей» и «Об умножении».

Именем выдающегося математика Диофанта Александрийского назван один из кратеров на Луне.

Поделиться ссылкой

Источник: http://SiteKid.ru/matematika/diofant.html

Решение задачи Диофанта

Решение задачи Диофанта.Вашему вниманию предлагается задача, текст которой сохранился на надгробном камне с III в.н. эры.

Путник! Здесь прах погребен Диофанта,

И числа поведать могут, сколь долг был век его жизни.

Часть шестую его представляло счастливое детство.

Двенадцатая часть протекла еще жизни-

Пухом покрылся тогда подбородок.

Седьмую в бездетном браке провел Диофант.

Прошло пятилетье.

Он был осчастливлен рождением сына,

Коему рок половину лишь жизни

Дал на земле по сравнению с отцом.

Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе.

Тут и увидел предел жизни печальной своей.

Скажи, сколько лет жизни достигнув,

Смерть воспринял Диофант?

На примере данной задачи вам необходимо: провести анализ задачи, вспомнить формы записи этапов составления уравнения по условию задачи, выстроить этапы математического моделирования.

х лет прожил Диофант

лет – годы детства

лет — годы юношества

лет – годы бездетного брака

5 лет – еще прошло

лет – годы жизни сына

4 года оплакивал горе

++5 ++4=х

А сейчас мы узнаем кто же такой Диофант, чем он знаменит.

Историческая справка о Диофанте (сообщение учащегося).

Диофант Александрийский — древнегреческий математик.До нас дошло стихотворение-задача, из которого видно, что Диофант прожил 84 года.

Вот его содержание: «детство Диофанта продолжалось одну шестую часть его жизни, спустя ещё одну двенадцатую у него начала расти борода, он женился спустя ещё одну седьмую, через пять лет у него родился сын, сын прожил половину жизни отца, и отец умер через четыре года после смерти горько оплакиваемого им сына».

Своё основное произведение «Арифметика» Диофант посвятил Дионисию — вероятно, епископу Александрии. До нас дошло шесть первых книг «Арифметики» из тринадцати. Диофант ввёл буквенные обозначения для неизвестного, его квадрата, знака равенства и знака отрицательного числа.Занимался неопределёнными уравнениями. Ввёл в алгебру буквенную символику.

Большую часть своей жизни Диофант Александрийский посвятил изучению алгебраических уравнений в целых числах. В дошедших до нас книгах «Арифметика» содержатся задачи и решения, в которых Диофант поясняет, как выбрать неизвестное, чтобы решить уравнение вида ax=b или ax=b. Способы решения полных квадратных уравнений изложены в книгах, которые не сохранились.

Итак, ребята, «Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы».

Источник: http://5-bal.ru/matematika/47133/index.html

План: Введение. Что такое уравнения? Диофант Александрийский

Сохрани ссылку в одной из сетей:

Читайте также:  Интересные факты о жемчуге

МОУ «Средняя общеобразовательная школа №49

с углубленным изучением отдельных предметов».

Научно-практическая конференция «Эрудит»

Секция «Математика»

ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ

Викторова Анастасия и Андреева Анастасия

Ученицы 10А класса

Учитель:Александрова

Татьяна Николаевна,

учитель математики

2010 г.

План:

  1. Введение.

  2. Что такое уравнения?

  3. Диофант Александрийский.

  4. Диофантовы уравнения (определение).

  5. Примеры задач.

  6. Заключение.

  7. Библиография.

1. Введение.

В наши дни каждый, кто занимался математикой как профессионал или как любитель, слышал о диофантовых уравнениях и даже о диофантовом анализе. За последние 15–20 лет эта область сделалась «модной» благодаря своей близости к алгебраической геометрии — властительнице дум современных математиков.

Между тем, о том, кто дал имя неопределённому анализу, о самом Диофанте, одном из наиболее интересных учёных античности, почти ничего не написано. О его работах даже историки науки имеют самое превратное представление.

Большинство из них считает, что Диофант занимался решением отдельных задач, равносильных неопределённым уравнениям, применяя для этого хитроумные, но частные методы.

Между тем простой разбор задач Диофанта показывает, что он не только поставил задачу решения неопределённых уравнений в рациональных числах, но и дал некоторые общие методы их решения.

В своих исследованиях мы будем анализировать решение конкретных задач, чтобы понять применённые там общие методы.

В нашей работе мы хотим осветить определённый вид математических уравнений, называемых диофантовыми, что и является целью данной работы. Нами были поставлены следующие задачи:

  • найти особенности диофантовых уравнений;

  • научиться решать данный тип математических задач;

Актуальность исследования заключается в том, что подход Диофанта к решению данных уравнений особенно интересен. Данный способ решения уравнений довольно прост, несмотря на то, что уравнение может состоять из двух, трёх и более переменных.

Структура работы. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографии.

2. Что такое уравнения?

Уравнением называется математическое соотношение, выражающее равенство двух алгебраических выражений. Если равенство справедливо для любых допустимых значений входящих в него неизвестных, то оно называется тождеством; например, соотношение вида (x — 1)2 = (x — 1)(x — 1) выполняется при всех значениях переменной x.

Для обозначения тождества часто вместо обычного знака равенства = пишут знак є, который читается «тождественно равно». Тождества используются в алгебре при записи разложения многочленов на множители (как в приведенном выше примере).

Встречаются они и в тригонометрии в таких соотношениях, как sin2x + cos2x = 1, а в общем случае выражают формальное отношение между двумя на первый взгляд различными математическими выражениями.

Если уравнение, содержащее переменную x, выполняется только при определенных, а не при всех значениях x, как в случае тождества, то может оказаться полезным определить те значения x, при которых это уравнение справедливо. Такие значения x называются корнями или решениями уравнения. Например, число 5 является корнем уравнения 2x + 7= 17.

Уравнения служат мощным средством решения практических задач. Точный язык математики позволяет просто выразить факты и соотношения, которые, будучи изложенными обычным языком, могут показаться запутанными и сложными.

Неизвестные величины, обозначаемые в задаче символами, например x, можно найти, сформулировав задачу на математическом языке в виде уравнений.

Методы решения уравнений составляют в основном предмет того раздела математики, который называется теорией уравнений.

Диофантовы уравнения. Диофантовым уравнением называется алгебраическое уравнение с двумя или более неизвестными с целыми коэффициентами, решение которого ищется в целых или рациональных числах. Например, уравнение 3x — 5y = 1 имеет решение x = 7, y = 4; вообще же его решениями служат целые числа вида x = 7 + 5n, y = 4 + 3n.

2. Диофант Александрийский.

Диофант представляет одну из наиболее трудных загадок в истории науки. Нам не известны ни время, когда он жил, ни предшественники его, которые работали бы в той же области. Промежуток времени, когда мог жить Диофант, составляет полтысячелетия! Однако учёные предполагают, что этот период – середина III века нашей эры.

Сама же «Арифметика» Диофанта посвящена известному человеку того времени, Дионисию, который интересовался арифметикой и её преподаванием. Дионисий с 231 года руководил христианской гимназией города.

Зато место жительства Диофанта хорошо известно — это знаменитая Александрия, центр научной мысли эллинистического мира.

Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей — и камень

Мудрым искусством его скажет усопшего век.

Волей богов шестую часть жизни он прожил ребёнком

И половину шестой встретил с пушком на щеках.

Только минула седьмая, с подругою он обручился.

С нею пять лет проведя сына дождался мудрец;

Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.

Отнят он был у отца ранней могилой своей.

Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,

Тут и увидел предел жизни печальной своей

Отсюда нетрудно подсчитать, что Диофант прожил 84 года. Однако для этого вовсе не нужно владеть искусством Диофанта! Достаточно уметь решать уравнение 1-й степени с одним неизвестным, а это умели делать египетские писцы ещё за 2 тысячи лет до н. э.

Считаю должным, заметить, что Диофант был весьма интересным человеком, всегда добивался своих поставленных целей и достигал прекрасных результатов, можно даже привести в пример то что на его началах дальше продвигались и другие выдающиеся математики, такие как, например П.Ферма, Л.Эйлер и К.Гаусс. А также многие другие, ведь его многие сочинения были отправной точкой начинающих математиков!

Но наиболее загадочным представляется творчество Диофанта. До нас дошло шесть книг из 13, которые были объединены в «Арифметику».

Стиль и содержание этих книг резко отличаются от классических античных сочинений по теории чисел и алгебре, образцы которых мы знаем по «Началам» Евклида, его «Данным», леммам из сочинений Архимеда и Аполлония.

«Арифметика», несомненно, явилась результатом многочисленных исследований, которые остались нам совершенно не известны. Мы можем только гадать о её корнях и изумляться богатству и красоте её методов и результатов.

«Арифметика» Диофанта — это сборник задач (их всего 189), каждая из которых снабжена решением (или несколькими способами решения) и необходимыми пояснениями. Поэтому с первого взгляда кажется, что она не является теоретическим произведением.

Однако при внимательном чтении видно, что задачи тщательно подобраны и служат для иллюстрации вполне определённых, строго продуманных методов.

Как это было принято в древности, методы не формулируются в общем виде, а повторяются для решения однотипных задач.

Многие вещи и многие догадки Диофанта до сих пор остаются неразгаданными тайнами, и знал лишь только Диофант Александрийский — древнегреческий математик и прекрасный человек!

И это лишь часть тех книг, которые выпущены по его сочинениям и исследованиям, самая многоиздаваемая из его сочинений, это диофантовы уравнения.

3 . Диофантовы уравнения.

Диофантовы уравнения (по имени древнегреческого математика Диофанта), алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, имеющие число неизвестных, превосходящее число уравнений, и у которых разыскиваются целые или рациональные решения. Понятие о диофантовых уравнениях в современной математике расширено: это уравнения, у которых разыскиваются решения в алгебраических числах. Д. у. называются также неопределёнными. Простейшее диофантовое уравнение ax + by = 1, где а и b — целые взаимно простые числа, имеет бесконечно много решений: если x0 и у0 — одно решение, то числа х = x0 + bn, у = y0-an (n — любое целое число) тоже будут решениями. Так, все целые решения уравнения 2x + 3у = 1 получаются по формулам х = 2 + 3n, у = — 1 — 2n (здесь x0 = 2, у0 = — 1).

Другим примером диофантовых уравнений является x2 + у2 = z2. Целые положительные решения этого уравнения представляют длины катетов х, у и гипотенузы z прямоугольных треугольников с целочисленными длинами сторон и называются пифагоровыми числами. Все тройки взаимно простых пифагоровых чисел можно получить по формулам х = m2 — n2, у = 2mn, z = m2 + n2, где m и n — целые числа (m> n > 0).

Диофант в сочинении «Арифметика» занимался разысканием рациональных (не обязательно целых) решений специальных видов диофантовых уравнений. Общая теория решения Д. у. первой степени была создана в 17 в. французским математиком К. Г. Баше; к началу 19 в. трудами П. Ферма, Дж. Валлиса, Л. Эйлера, Ж. Лагранжа и К. Гаусса в основном было исследовано диофантовое уравнение вида

ах2 + bxy + су2 + dx + еу + f = 0,

где а, b, с, d, е, f — целые числа, т. е. общее неоднородное уравнение второй степени с двумя неизвестными. Ферма утверждал, например, что x2 — dy2 = 1 (Пелля уравнение), где d — целое положительное число, не являющееся квадратом, имеет бесконечно много решений. Валлис и Эйлер дали способы решения этого уравнения, а Лагранж доказал бесконечность числа решений.

С помощью непрерывных дробей Лагранж исследовал общее неоднородное диофантовое уравнение второй степени с двумя неизвестными. Гаусс построил общую теорию квадратичных форм, являющуюся основой решения некоторых типов диофантовых уравнений. В исследованиях диофантовых уравнений степени выше второй с двумя неизвестными были достигнуты серьёзные успехи лишь в 20 в. А.

Туз установил, что диофантовое уравнение

a0 xn + a1xn-1y +… + anyn = с

(где n ³ 3, a0, а1,…, an, с — целые и многочлен a0tn + a1, tn-1 +…+ an неприводим в поле рациональных чисел) не может иметь бесконечного числа целых решений. Английским математиком А.

Бейкером получены эффективные теоремы о границах решений некоторых таких уравнений. Б. Н. Делоне создал другой метод исследования, охватывающий более узкий класс диофантовых уравнений, но позволяющий определять границы числа решений.

В частности, его методом полностью решается диофантовое уравнение вида ax3 + y3 =1.

4. Примеры задач.

Покупка галстука.

Условие: Вы должны уплатить за купленный в

магазине галстук 19 руб. У вас одни лишь трехрублевки, у кассира – только пятирублевки. Можете ли вы при наличии таких денег расплатиться с кассиром и как именно?

Решение: кол-во трехрублевок обозначим за – х, а кол-во пятирублевок за — у, и получим уравнение

3x – 5y = 19

Х и У – числа целые и положительные.

3х = 19 + 5х,

х = (19+5х)/3=6 + у + (1+2у)/3.

Обозначим выражение (1+2у)/3, буквой t

х=6 + у + t,

Где t = (1+2у)/3

3t=1+2у , 2у=3t-1 => y=(3t-1)/2=t + (t-1)/2

Так как у и t – числа целые, то и (t-1)/2 должно быть некоторым целым числом t1. следовательно,

у = t + t1

t1 = (t — 1)/2

2t1=t — 1 и t= 2t1 +1

Значение t= 2t1 +1 подставляем в предыдущие равенства:

у = t + t1 = (2t1 +1) + t1 = 3t1 + 1,

х = 6 + у + t = 6 + (3t1 + 1) + (2t1 +1) = 8 + 5t1.

И так, для х и у мы нашли выражения:

х = 8 + 5t1,

у = 1 + 3t1.

Числа х и у, мы знаем, — не только целые, но и положительные, т.е. больше чем 0. Следовательно,

8 + 5t1>0

1 + 3t1 >0

Из этих неравенств находим:

5t1>-8 и t1>-8/5

3t1>-1 и t1>-1/3

Этим величина t1 ограничивается; она больше чем -1/3 (значит, подавно больше чем -8/5). Но так как t1 – число целое, то заключаем, что для него возможны лишь следующие значения:

t1 = 0, 1, 2, 3, 4 …

Соответствующие значения для х и у таковы:

х = 8 + 5t1 = 8, 13, 18, 23, 23, …

у = 1 + 3t1 = 1, 4, 7, 10, …

Теперь мы установили, как может быть произведена уплата: вы либо платите 8 трехрублевок, получая одну пятирублевку сдачи:

8 * 3 – 5 = 19

Либо платите 13 трехрублевок, получая сдачи 4 пятирублевками:

13 * 3 – 4 * 5 = 19

В принципе, вариантов решений тут, бесчисленно, но надо учитывать, что количество денежных средств и у продавца и покупателя ограничено, отсюда следует, что самый удобный вариант из всех предложенных, это дать продавцу 8 трехрублевок и получить сдачу, одну пятирублевку.

Задача решена.

6. Заключение.

«Первое условие, которое надлежит выполнять в математике, — это быть точным,

второе – быть ясным и, насколько можно, простым» — говорил великий математик Л. Карно.

В ходе данной работы нами были исследованы диофантовы уравнения. Мы нашли особенности диофантовых уравнений, научились решать данный тип математических задач. Простой разбор задач Диофанта показывает, что он не только поставил задачу решения неопределённых уравнений в рациональных числах, но и дал некоторые общие методы их решения.

В ходе данной работы мы проанализировали решение задачи, что позволило понять применённые там общие методы решения диофантовых уравнений.

7. Библиография.

  • З. И. Боревич и И. Р. Шафаревич, Теория чисел. М., «Наука», 1964.

  • Г. Дэвенпорт, Высшая арифметика. М., «Наука», 1965.

  • Л. Е. Диксон, Введение в теорию чисел. Тбилиси, 1941.

  • T. H. Skolem, Diophantiche Gleichungen. Berlin, 1938.

  • И. Р. Шафаревич, Основы алгебраической геометрии. Успехи матем. наук, 1969, т. 24, № 6.

  • /Liv/Diophant.htm

  1. Урок

    развивать у учащихся аккуратность оформления записей, интерес и любовь к предмету, память и мыслительные операции (анализ, синтез, обобщение, конкретизация и др.

  2. Лекция

    1. Предметом изучения математики являются пространственные формы и количественные отношения реального мира. Эти формы и отношения не существуют в действительности, но отражают с определенной степенью абстракции реальные объекты и явления.

  3. Реферат

    Сегодняшние школьники решают различные уравнения. В части С заданий ЕГЭ встречается интересное уравнение, которое называется Диофантово уравнение. В своих работах Диофант не только поставил проблему решения неопределённых уравнений

  4. Документ

    Жизнь человека с самого начала складывалась так, что все, чем бы он не занимался, заставляло его наблюдать за окружающим миром и делать из этого выводы.

  5. Статья

    ACTUS PURUS (лат. – чистое действие) — тождество бытия и действия, действительность без потенциальности и пассивности. Это понятие идет от Аристотеля и употреблялось схоластами для определения Бога: Бог есть все, чем он может быть,

Источник: https://refdb.ru/look/2409793.html

Ссылка на основную публикацию